О курсе
Учебная дисциплина «Теоретическая механика» представлена как отдельный курс в направлении «Технологии и ИТ». Прежде чем записаться, ознакомьтесь с содержанием и уточните условия обучения.
Тематический план
1. Механика — наука о движении. Этапы становления механики как фундаментальной науки — основы современной техники
2. Роль механики в решении проблем современного общества
3. КИНЕМАТИКА
- Траектория, закон движения, скорость и ускорение точки. Разложение скорости и ускорения по осям естественного трехгранника
- Криволинейные координаты. Скорость и ускорение точки в криволинейных координатах
- Сложное движение материальной точки. Лемма о производной ортогонального оператора. Теорема сложения скоростей
- Распределение скоростей при произвольном движении твердого тела. Угловая скорость твердого тела. Простейшие движения твердого тела: поступательное движение, вращение вокруг неподвижной оси
- Классификация мгновенных движений твердого тела. Уравнение винтовой оси
- Непрерывное движение твердого тела. Аксоиды
- Частные случаи движения тела: плоскопараллельное движение и вращение вокруг неподвижной точки
- Сложное движение твердого тела. Пара вращений
- Теорема сложения вращений. Углы Эйлера. Кинематические формулы Эйлера
- Ускорения точек твердого тела. Теорема сложения ускорений для материальной точки
4. ДИНАМИКА ТОЧКИ
- Основные определения и законы динамики
- Уравнения движения материальной точки в декартовой и криволинейной системах координат, в проекциях на оси естественного трехгранника
- Теоремы о количестве движения и о моменте количества движения. Первые интегралы
- Работа силы. Потенциальные силовые поля. Теорема об изменении кинетической энергии. Закон сохранения энергии
- Движение точки по прямой в сопротивляющейся среде. Метод фазовой плоскости
- Движение материальной точки в центральном поле сил. Формулы Вине
- Движение планет. Вывод закона всемирного тяготения из законов Кеплера
- Движение планеты в центральном ньютоновском поле сил. Уравнение Кеплера. Связь между истинной и эксцентрической аномалиями
- Движение несвободной материальной точки. Голономные связи. Конфигурационное пространство. Принцип освобождаемости от связей
- Уравнения движения точки по поверхности и по кривой. Аксиома идеальных связей. Уравнения Лагранжа первого рода с неопределенными множителями
- Уравнения движения точки по поверхности и по кривой в независимых координатах. Определение реакций связей
- Теорема об изменении кинетической энергии при движении несвободной материальной точки. Закон сохранения энергии. Движение по инерции
- Математический маятник
- Уравнения движения точки в неинерциальной системе координат. Теорема об изменении кинетической энергии. Закон сохранения энергии
- Движение точки относительно Земли: относительное равновесие, падение точки в пустоте
- Маятник Фуко
5. ДИНАМИКА СИСТЕМЫ N ТОЧЕК
- Система свободных материальных точек и уравнения ее движения. Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс
- Момент количеств движения относительно неподвижной точки и центра масс. Теоремы об их изменениях
- Кинетическая энергия системы в абсолютном движении и в движении относительно центра масс. Теоремы об их изменении
- Задача двух тел. Уточнение третьего закона Кеплера
- Задача N тел, взаимодействующих по закону всемирного тяготения. Лемма Лагранжа-Якоби. Необходимое условие ограниченности взаимных расстояний
- Движение системы несвободных N точек. Голономные связи. Конфигурационное многообразие системы. Возможные перемещения
- Идеальные связи. Уравнения Лагранжа первого рода. Вариационный принцип Д Аламбера-Лагранжа
- Вывод общих теорем динамики из принципа Д Аламбера-Лагранжа
- Уравнения Лагранжа второго рода
- Первые интегралы уравнений Лагранжа второго рода. Теорема Нетер
- Определение реакций связей с помощью уравнений Лагранжа второго рода
- Равновесие системы материальных точек. Принцип возможных перемещений. Теорема Лагранжа об устойчивости положения равновесия
6. ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
- Движение свободного твердого тела. Поле реакций связей. Принцип Д Аламбера-Лагранжа. Уравнения движения
- Тензор инерции, моменты инерции, эллипсоид инерции твердого тела
- Движение твердого тела с одной неподвижной точкой. Динамические уравнения Эйлера. Случай однородного силового поля
- Случай Эйлера: вращение твердого тела вокруг центра масс
- Геометрическая интерпретация Пуансо движения твердого тела с одной неподвижной точкой по инерции. Устойчивость стационарных вращений. Регулярная прецессия
- Случай Лагранжа движения симметричного твердого тела
- Вырожденные случаи движения тяжелого симметричного тела: регулярная прецессия. Вращение вокруг вертикали, асимптотические движения
- Приближенное исследование движения тела в случае Лагранжа, псевдорегулярная прецессия
- Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси. Определение реакций
- Физический маятник. Теорема Гюйгенса
7. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ И АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
- Канонические уравнения Гамильтона. Первые интегралы
- Вариационный принцип Гамильтона-Остроградского в конфигурационном и фазовом пространствах
- Принцип наименьшего действия Лагранжа
- Принцип наименьшего действия в форме Якоби. Уравнения Якоби
- Оптико-механическая аналогия
- Интегральный инвариант Пуанкаре-Картана. Условие гамильтоновости фазового потока
- Понижение порядка канонических уравнений с помощью интеграла энергии. Уравнения Уиттекера
- Теорема Лиувилля о сохранении фазового объема
- Теорема Пуанкаре о возвращении
- Канонические преобразования. Производящая функция канонического преобразования
- Критерий каноничности преобразования. Бесконечно малые канонические преобразования
- Функция действия и ее свойства
- Уравнение Гамильтона-Якоби. Теорема Якоби
- Отыскание полного интеграла уравнения Гамильтона-Якоби методом разделения переменных
- Скобки Пуассона и их свойства. Теорема Пуассона
- Теорема Лиувилля о вполне интегрируемых гамильтоновых системах
- Переменные действие-угол
- Метод вариации произвольных постоянных в теории возмущений
- Уравнения возмущенного движения в переменных действие-угол и метод усреднения. Эволюция переменной действие в задаче Ван дер Поля
- Принцип наименьшего принуждения Гаусса. Уравнения движения голономных систем в форме Аппеля
- Неголономные связи. Уравнения Рауса с неопределенными множителями
- Уравнения Аппеля для неголономных систем. Задача о движении конька
8. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ
- Малые колебания системы около положения равновесия. Нормальные координаты. Свойства собственных частот
- Поведение собственных частот при изменении жесткостных или инерционных характеристик
- Поведение собственных частот при наложении связи
- Вынужденные колебания системы около положения равновесия
- Влияние диссипативных сил на малые колебания и устойчивость положения равновесия
9. ТЕОРИЯ УДАРА
- Ударный импульс. Основные уравнения и теоремы теории удара
- Удар в системе с идеальными голономными связями
- Удар твердого тела о поверхность
- Удар двух тел. Теорема Карно
- Удар при наложении идеальных голономных связей
- Удар по телу, вращающемуся вокруг оси. Центр удара
10. ДИНАМИКА ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
- Модель упругого тела. Деформированное состояние упругого тела
- Малые деформации. Функционал потенциальной энергии малых деформаций
- Уравнения движения упругого тела. Тензор напряжений
- Продольные колебания упругого стержня
- Колебания струны и балки
- Собственные колебания упругих тел
- Волны в упругой среде
11. ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ И ГАЗА
- Вариационный принцип Д Ал амбера-Лагранжа в задаче о движении идеальной несжимаемой жидкости. Поле реакций связей. Уравнение Эйлера
- Уравнения движения идеальной баротропной сжимаемой жидкости или газа
- Интегралы Бернулли, Коши и Бернулли-Эйлера
- Вихревые движения идеальной баротропной жидкости. Теорема Томсона и ее следствия
- Вихревые линии и трубки. Теоремы Гельмгольца
- Диссипация энергии при движении жидкости. Уравнение Навье-Стокса
До начала обучения
- Согласуйте объём программы, форму и сроки обучения.
- Уточните требования к поступающим, итоговой работе и документу об обучении.
- Получите договор с полной стоимостью курса и порядком предоставления доступа.